При расчете на кручение прямых брусьев, жестко защемленных одним концом, а также при расчете валов (представляющих собой вращающиеся брусья, нагруженные взаимно уравновешенными скручивающими моментами) значения крутящих моментов в поперечных сечениях можно определить с помощью одних лишь уравнений равновесия (методом сечений). Следовательно, такие задачи являются статически определимыми.

Задачи расчета на кручение являются статически неопределимыми, если крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях скручиваемых стержней, нельзя определить с помощью только уравнений равновесия. Для решения этих задач дополнительно к уравнениям равновесия, составляемым для системы в целом или ее отсеченной части, необходимо составить также уравнения перемещений, основанные на рассмотрении характера деформации системы.

Рассмотрим для примера брус круглого сечения, жестко заделанный обоими концами и нагруженный моментом ЗЛ на расстоянии а от левого конца (рис. 23.6, а).

Для решения данной задачи можно составить лишь одно уравнение равновесия - в виде равенства нулю суммы моментов относительно оси бруса:

где и - реактивные скручивающие моменты, возникающие в заделках.

Дополнительное уравнение для решения рассматриваемой задачи можно получить следующим образом. Отбросим левое опорное закрепление бруса, но оставим правое (рис. 23.6, б).

Поворот левого конца полученного таким путем бруса должен быть равен нулю, т. е. так как в действительности этот конец жестко закреплен и не может поворачиваться.

На основании принципа независимости действия сил уравнение перемещений имеет вид

Здесь - угол поворота левого конца бруса от действия внешнего скручивающего момента (рис. 23.6, в); - угол поворота левого конца от действия внешнего момента (рис. 23.6, г).

По второй из формул (14.6), учитывая, что правый конец бруса не поворачивается (т. е. ), и по формуле (13.6) находим

Подставим эти значения в уравнение перемещений:

Из уравнения равновесия

После определения моментов и эпюру крутящих моментов можно построить обычным способом, т. е. как для статически определимого бруса (рис. 23.6, д). Для рассмотренной задачи эта эпюра представлена на рис. 23.6, е.

Наглядное представление об изменении углов поворота поперечных сечений бруса по его длине дает эпюра углов поворота (иногда ее называют эпюрой углов закручивания). Каждая ордината этой эпюры дает в принятом масштабе величину угла поворота соответствующего поперечного сечения бруса.

Построим такую эпюру для бруса по рис. 23.6, д, учитывая при этом, что значение уже найдено и эпюра крутящих моментов построена (см. рис. 23.6, е). Крайнее правое сечение А бруса неподвижно, т. е. Произвольное поперечное сечение, принадлежащее участку АС и отстоящее на расстояние от правого конца, повернется на угол [см. вторую из формул (14.6)]

Здесь - угол закручивания на участке длиной определяемый по формуле (13.6).

Таким образом, углы поворота изменяются по линейному закону в зависимости от расстояния Подставляя в полученное выражение найдем угол поворота сечения С:

Заметим, что всегда при нагружении бруса постоянного сечения сосредоточенными скручивающими моментами эпюра углов поворота поперечных сечений на каждом из участков бруса линейна.

Для построения эпюры на участке СВ вычислим угол поворота сечения В. На основании второй из формул (14.6) и формулы (13.6)

Этот результат подтверждает правильность решения задачи, так как по условию сечение В заделано жестко. Таким образом, кроме чисто иллюстративного значения, построение эпюры углов поворота поперечных сечений можно рассматривать как метод контроля решения некоторых статически неопределимых задач.

Построенная по полученным значениям эпюра углов поворота представлена на рис. 23.6, ж.

При действии на брус нескольких внешних скручивающих моментов, а также для брусьев, имеющих на отдельных участках разные поперечные сечения, составление дополнительного уравнения производится способом, аналогичным показанному (см. пример 5.6).

При расчете цилиндрических пружин наряду со статически определимыми встречаются также и статически неопределимые задачи.

Если концы пружины не закреплены и могут свободно перемещаться вдоль оси пружины или если закреплен лишь один ее конец, то задача расчета такой пружины статически определима. Если же оба конца пружины неподвижно закреплены, то задача ее расчета статически неопределима. Для ее решения необходимо составить дополнительное уравнение перемещений. Составление этого уравнения аналогично составлению уравнения, применяемого при решении задач расчета прямого стержня, закрепленного обоими концами, на внешние нагрузки, действующие вдоль его оси. Составление дополнительных уравнений для такого типа задач рассмотрено выше в § 9.2 (см. также пример 3.6).

Статически неопределимые задачи на кручение

Как известно, статически неопределимыми называют задачи, в которых число неизвестных опорных реакций или число внутренних усилий превышает число возможных уравнений статики. Один из методов решения статически неопределимых задач сводится к следующему:

а) составляются все возможные в данной задаче уравнения статики;

б) представляется картина деформации, происходящей в данной конструкции, и записываются деформационные уравнения, число которых должно быть равно степени статической неопределимости задачи;

в) решается совместная система уравнений статики и деформационных уравнений.

Рассмотрим решение статически неопределимой задачи на кручение.

Пример № 1

Построить эпюру крутящих моментов для вала постоянного по длине поперечного сечения, жестко защемленного обоими торцами и нагруженного скручивающим сосредоточенным моментом М (см. рис.), расположенным на расстоянии а от левого закрепления.

Решение.

Так как вал защемлен с двух торцов, то в обоих защемлениях возникнут реактивные опорные моменты М А и М В . Для их определения используем вначале уравнения статики. В данном случае можно составить только одно уравнение равновесия: , или

М А + М В + М = 0.(1)

Уравнение содержит две неизвестные величины: М А и М В . Следовательно, данная задача является один раз статически неопределимой.

Рассматриваем картину деформации вала (рис. б ). Видно, что взаимный угол закручивания правого торца относительно левого равен нулю. Угол поворота правого торца относительно левого может быть представлен в виде суммы углов закручивания отдельных участков вала.

Согласно формуле , углы закручивания по участкам определятся следующим образом: для участка длиной а для участка длиной b где T a и T b – крутящие моменты на соответствующих участках вала. Суммарный угол закручивания по условию закрепления концов равен нулю, т.е.

(2)

Это и есть деформационное уравнение задачи. Преобразуем его. Применяя метод сечений, выразим крутящие моменты Т а и Т b :

Т а = М А ,Т b = М В .

Подставив эти значения моментов в уравнение (2), и сократив полученное уравнение на постоянный множитель , получим

.(3)

Решая совместно уравнения (1) и (3), найдем

Знак «–» указывает на то, что истинное направление реактивных моментов противоположно выбранному первоначально. Вычислив реактивные моменты, строим эпюру крутящих моментов по известным правилам (рис. в ).

Можно отметить следующую особенность эпюр крутящих моментов в статически неопределимых валах с = const : суммарная площадь эпюры крутящих моментов равна нулю, что по существу предопределено уравнением (3). Если вал ступенчатый, то нулю должна быть равна сумма площадей эпюры крутящих моментов, отнесенных к моментам инерции сечений на соответствующих участках.

Пример № 2

Построить эпюры крутящих моментов Т , абсолютных и относительных углов закручивания круглого сплошного ступенчатого стержня, защемленного с двух торцов и нагруженного внешним крутящим моментом М (см. рис.).

Решение.

Задача один раз статически неопределима. Решим задачу следующим способом. Отбросим мысленно правое защемление, т.е. рассмотрим статически определимый стержень, показанный на рис. б . Эпюра крутящих моментов для него от действия внешнего крутящего момента М имеет вид, показанный на рис. в . Определим угол закручивания правого торца В статически определимого стержня:

Ответ получился со знаком «+», следовательно, сечение В повернется вокруг оси х в направлении внешнего момента М . Но на самом деле сечение 4 статически неопределимого стержня (рис. а ) не поворачивается . Приложим к статически определимому стержню крутящий момент М В (рис. г ) и определим угол поворота правого торца только от действия момента М В , используя эпюру крутящего момента (рис. д ),

Теперь можно записать деформационное условие, показывающее, что угол поворота в сечении 4 статически неопределимого стержня должен быть равен нулю:

Из этого условия находимМ В = М /6. Крутящий момент М В будет являться опорной реакцией для статически неопределимого стержня,

М В = М 4 .

Окончательная эпюра крутящих моментов получается сложением двух эпюр и (рис. е ).

Приступаем к построению эпюры углов закручивания , для чего вычисляем по формуле углы закручивания для каждого участка

а затем находим значения углов закручивания в характерных сечениях:

Последний результат подтверждает правильность проведенных вычислений. Введя для сокращения новое обозначение , окончательно получаем:

Затем строим эпюру абсолютных углов закручивания (рис.ж ).

Для построения эпюры относительных углов закручивания (рис.з ) необходимо предварительно вычислить

где принято следовательно,

Определим необходимые диаметры стержня. Примем, что внешний крутящий момент М = 20 кНм, расчетное сопротивление материала стержня на срез R s = 100 МПа, допустимый относительный угол закручивания , а модуль сдвига G = 8·10 4 МПа.

Диаметр стержня в пределах I и II участков будем обозначать d 1 , а в пределах участка III – d 4 . Согласно условию задачи между d 1 и d 4 , существует соотношение (рис. а ):

и , тогда откуда

Кроме того,

Необходимый диаметр d 1 при условии обеспечения прочности стержня определяем по формуле , взяв значение крутящего момента из эпюры Т , представленной на рис. е :

Определим максимальное касательное напряжение, которое возникнет в стержне на участке III :

Необходимый диаметр при условии обеспечения жесткости стержня находим по формуле :

Сравнивая результаты, принимаем окончательно d 1 =13 см, d 4 =11 см, определенные из условия жесткости.

Диаметр d 4,жестк можно определить также, используя эпюру (рис. з ), из которой видно, что на участке I , поэтому приравнивая

находим и, наконец, определяем

Пример № 3

Стальной вал круглого поперечного сечения состоит из трех участков с различными полярными моментами инерции (рис. а). Концы вала жестко закреплены от поворота относительно продольной оси вала. Заданы нагрузки: пары сил M 1 и M 2 , действующие в плоскости поперечного сечения вала; отношения полярных моментов инерции участков вала и ; длины участков l 1 , l 2 , l 3 .

Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) подобрать размеры поперечных сечений из условия прочности;

3) построить эпюру углов закручивания.

Решение.

Ввиду наличия двух жестких опорных закреплений под действием нагрузки в каждом из них возникают реактивные пары и . Составив условие равновесия вала

Убеждаемся в том, что записанное уравнение не может быть решено однозначно, поскольку содержит две неизвестные величины: и . Остальные уравнения равновесия при данной нагрузке выполняются тождественно. Следовательно, задача является один раз статически неопределимой.

Для раскрытия статической неопределимости составим условие совместности деформаций. Вследствие жесткости опорных закреплений концевые сечения вала не поворачиваются. Это равносильно тому, что полный угол закручивания вала на участке А–В равен нулю: , или.

Последнее уравнение и есть условие совместности деформаций. Для его связи с уравнением равновесия запишем физические уравнения, связывающие крутящие моменты и углы закручивания (закон Гука при кручении), для каждого участка стержня:

, ,.

Подставив физические соотношения в условие совместности деформаций, находим реактивный момент , а затем из уравнения равновесия определяем . Эпюра крутящих моментов показана на рис. б .

Для решения задачи о подборе сечения запишем формулы для определения максимальных касательных напряжений на каждом участке вала:

; ;.

Коэффициенты и , представляющие собой отношения полярных моментов сопротивления сечений второго и третьего участков вала к полярному моменту сопротивления сечения первого участка , определим через известные параметры и .

Полярный момент инерции может быть записан двояким образом:

где , - радиусы первого и второго участков стержня. Отсюда выразим радиус через :

Тогда полярный момент сопротивления второго участка

,

то есть . Аналогично .

Теперь можно сравнить между собой максимальные касательные напряжения на отдельных участках и для наибольшего из них записатьусловие прочности . Из этого условия находим требуемый полярный момент сопротивления , и затем, используя формулу , радиусы вала на каждом участке.

;;.

Для построения эпюры углов закручивания вычислим углы закручивания на каждом участке стержня по формуле . Ординаты эпюры получаются последовательным суммированием результатов для отдельных участков, начиная с одного из концов вала. Контролем правильности решения является равенство нулю угла закручивания на другом конце валаВид эпюры углов закручивания показан на рис. в .

Кручение стержня круглого сечения – условие задачи

К стальному валу постоянного поперечного сечения (рис. 3.8) приложены четыре внешних скручивающих момента: кН·м; кН·м; кН·м; кН·м. Длины участков стержня: м; м, м, м. Требуется: построить эпюру крутящих моментов, определить диаметр вала при кН/см2 и построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.

Кручение стержня круглого сечения – расчетная схема

Рис. 3.8

Решение задачи кручение стержня круглого сечения

Определяем реактивный момент, возникающий в жесткой заделке

Обозначим момент в заделке и направим его, например, против хода часовой стрелки (при взгляде навстречу оси z).

Запишем уравнение равновесия вала. При этом будем пользоваться следующим правилом знаков: внешние скручивающие моменты (активные моменты, а также реактивный момент в заделке), вращающие вал против хода часовой стрелки (при взгляде на него навстречу оси z), считаем положительными.

Знак «плюс» в полученном нами выражении говорит о том, что мы угадали направление реактивного момента , возникающего в заделке.

Строим эпюру крутящих моментов

Напомним, что внутренний крутящий момент , возникающий в некотором поперечном сечении стержня, равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к любой из рассматриваемых частей стержня (то есть действующих левее или правее сделанного сечения). При этом внешний скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня против хода часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), входит в эту алгебраическую сумму со знаком «плюс», а по ходу – со знаком «минус».

Соответственно, положительный внутренний крутящий момент, противодействующий внешним скручивающим моментам, направлен по ходу часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), а отрицательный – против ее хода.

Разбиваем длину стержня на четыре участка (рис. 3.8, а). Границами участков являются те сечения, в которых приложены внешние моменты.

Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из четырех участков стержня.

Cечение 1 – 1. Мысленно отбросим (или закроем листком бумаги) левую часть стержня. Чтобы уравновесить скручивающий момент кН·м, в поперечном сечении стержня должен возникнуть равный ему и противоположно направленный крутящий момент . С учетом упомянутого выше правила знаков

кН·м.

Сечения 2 – 2 и 3 – 3:

Сечение 4 – 4. Чтобы определить крутящий момент, в сечении 4 – 4 отбросим правую часть стержня. Тогда

кН·м.

Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим теперь не правую, а левую часть стержня. Получим

Для построения эпюры крутящих моментов проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.8, б). Вычисленные значения крутящих моментов в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой оси. В пределах каждого из участков стержня крутящий момент постоянен, поэтому мы как бы «заштриховываем» вертикальными линиями соответствующий участок. Напомним, что каждый отрезок «штриховки» (ордината эпюры) дает в принятом масштабе значение крутящего момента в соответствующем поперечном сечении стержня. Полученную эпюру обводим жирной линией.

Отметим, что в местах приложения внешних скручивающих моментов на эпюре мы получили скачкообразное изменение внутреннего крутящего момента на величину соответствующего внешнего момента.

Определяем диаметр вала из условия прочности

Условие прочности при кручении имеет вид

,

где – полярный момент сопротивления (момент сопротивления при кручении).

Наибольший по абсолютному значению крутящий момент возникает на втором участке вала: кН·см.

Тогда требуемый диаметр вала определяется по формуле

см.

Округляя полученное значение до стандартного, принимаем диаметр вала равным мм.

Определяем углы закручивания поперечных сечений A, B, C, D и E и строим эпюру углов закручивания

Сначала вычисляем крутильную жесткость стержня , где G – модуль сдвига, а – полярный момент инерции. Получим

Углы закручивания на отдельных участках стержня равны:

рад;

рад;

рад;

рад.

Угол закручивания в заделки равен нулю, то есть . Тогда

Эпюра углов закручивания показана на рис. 3.8, в. Отметим, что в пределах длины каждого из участков вала угол закручивания изменяется по линейному закону.

Пример задачи на кручение "круглого" стержня для самостоятельного решения

Условие задачи на кручение "круглого" стержня

Жестко защемленный одним концом стальной стержень (модуль сдвига кН/см2) круглого поперечного сечения скручивается четырьмя моментами (рис. 3.7).

Требуется:

· построить эпюру крутящих моментов;

· при заданном допускаемом касательном напряжении кН/см2 из условия прочности определить диаметр вала, округлив его до ближайшего из следующих значений 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200 мм;

· построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.

Варианты расчетных схем к задаче на кручение стержня круглого сечения для самостоятельного решения

Пример задачи на кручение круглого стержня – исходные условия для самостоятельного решения

Номер схемы
			Перед решением задачи по сопромату необходимо переписать полностью ее условие с числовыми данными, составить эскиз в масштабе и указать на нем в числах все величины, необходимые для дальнейшего расчета, Решение задач по сопромату дополняйте краткими пояснениями и чертежами, на которых визуализированы входящие в расчет величины, Перед использованием формулы для определения напряженно-деформированного состояния необходимо изучить соответствующую тему лекций по сопромату, чтобы понять физический смысл всех величин, входящих в нее, При подстановке в используемую формулу величин силы, момента или длины необходимо перевести их в одну систему единиц, При решении задач по сопромату точность расчетов не должна превышать трех значащих цифр (результат решения задачи не может быть точнее заложенных в расчетные формулы предпосылок), Заканчивать расчеты нужно анализом результатов - преподавали по сопромату таким образом проверяют ваши работы. Анализ результатов решения поможет избежать нелепых ошибок и оперативно их устранить.

Задачи кручения стержней являются статически неопределимыми, если крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях стержня, не могут быть определены с помощью одних только уравнений равновесия. Для решения таких задач необходимо также рассматривать деформированное состояние скручиваемого стержня.

В качестве примера рассмотрим закрепленный на концах стержень круглого сечения, нагруженный скручивающим моментом М, приложенным на расстоянии а от левого конца (рис. 8.15, а).

Для определения двух опорных моментов М А и М в имеем лишь одно уравнение равновесия

Для составления уравнения деформаций отбросим мысленно правую опору (рис. 8.15, б). Найдем угол закручивания (p s сечения В образованного таким образом статически определимого стержня и приравняем его к нулю:

Из этого равенства получим

Из уравнения равновесия (8.29) найдем

При известных величинах М А и М в можно определить крутящий момент М и угол закручивания ср в произвольном сечении стержня.

Соответствующие эпюры М к и (р приведены на рис. 8.15, в, г.

Кручение стержней с некруглым поперечным сечением. Задача Сен-Венана

Как показывают эксперименты, при кручении стержней некруглого поперечного сечения гипотезы, принятые в § 8.2, оказываются несправедливыми. Основным отличием является то, что поперечные сечения в таких стержнях при кручении не остаются плоскими, а искривляются (рис. 8.16). Это явление называется депланацией. При этом в зависимости от условий закрепления стержня депланация по длине стержня может быть различна. Так, например, если один торец стержня закреплен (рис. 8.16), то депланация в заделке отсутствует, а на свободном торце она наибольшая. При этом, очевидно, некоторые продольные волокна стержня удлиняются, а другие - укорачиваются. Это возможно лишь за счет появления нормальных напряжений о г, которые на первый взгляд должны отсутствовать, поскольку внутренние усилия (N, М х, М у), являющиеся равнодействующими этих напряжений, при кручении равны нулю.

Кручение стержня, при котором депланация сечения по длине стержня изменяется, называется стесненным кручением.

В этом параграфе рассмотрим такое кручение, при котором депланация по длине стержня постоянна и ее можно характеризовать величиной перемещения w = w (х, у) в осевом направлении. Такое кручение стержня называется свободным кручением. Свободное кручение имеет место, например, когда стержень постоянного по всей длине сечения нагружен по торцам двумя скручивающими моментами (рис. 8.17).

Решение задачи свободного кручения стержней некруглого поперечного сечения получено Сен-Венаном. В основу решения положены следующие допущения.

1. Перемещения ниув плоскости Оху описываются теми же соотношениями, что и при кручении стержней круглого сечения (формулы (8.22)):

2. Величина депланации пропорциональна относительному углу закручивания ф", то есть

Здесь следует отметить, что если в рассматриваемой задаче (см. рис. 8.17) считать, что сечение z = 0 не поворачивается, то углы закручивания ф изменяются по длине стержня по линейному закону (рис. 8.11) и

Из соотношений Коши (5.8) с учетом (8.30) и (8.31) найдем деформации:

С помощью закона Гука (6.12) получим

а остальные напряжения равны нулю.

Из этих соотношений видно, что в стержне возникает напряженное состояние чистого сдвига. Подставив выражения для t xz и x yz в формулу (8.8), вычислим величину крутящего момента:

Входящий в это равенство интеграл

назовем моментом инерции сечения при кручении. В случае круглого сечения, когда депланация отсутствует (|/ = 0), эта величина совпадает с полярным моментом инерции

Подставляя (8.35) в (8.34), получим

Эта формула совпадает по форме с (8.8). Отличными в этих формулах являются только геометрические характеристики / и J.

Произведение GJ K называется жесткостью стержня при свободном кручении.

Таким образом, для решения задачи о свободном кручении стержней некруглого поперечного сечения необходимо найти функцию ц/(х, у). Тогда из (8.36) с учетом (8.35) можно определить относительный угол закручивания ф", а с помощью (8.33) и (8.32) - вычислить напряжения и деформации.

Подставив выражения для напряжений t xz и % yz из (8.33) в третье уравнение равновесия Навье (4.10) при отсутствии объемных сил, получим

Отсюда следует, что функция f(x, у) должна удовлетворять уравнению Лапласа

Рассмотрим теперь граничные условия:

На боковой поверхности стержня, которая свободна от внешних нагрузок и имеет нормаль v, перпендикулярную к оси Oz, имеем

С учетом этих равенств третье граничное условие (8.39), дает

Преобразуем это условие, рассмотрев бесконечно малый элемент АВС у границы поперечного сечения (рис. 8.18). Направление касательной t примем так, как показано на этом рисунке.

Подставляя эти значения в (8.40), получим

Таким образом, задача о кручении стержня с произвольным поперечным сечением сводится к решению дифференциального уравнения (8.38) с граничным условием (8.42).

Граничное условие (8.42) имеет сложный вид и не очень удобно для решения задач. Поэтому рассмотрим другой подход, приводящий к более простому граничному условию.

Уравнению (8.37) можно удовлетворить, приняв

где Ф = Ф (х, у) называется функцией напряжений.

Из равенств (8.33) и (8.43) получим

Исключим функцию |/. Для этого продифференцируем первое равенство по у, второе - по х и вычтем из первого равенства второе:

Таким образом, функция Ф удовлетворяет уравнению Пуассона

Граничное условие (8.40) с учетом (8.41) и (8.43) принимает вид

Отсюда следует, что на границе

В случае односвязных, то есть сплошных, сечений эту постоянную можно принять равной нулю. Тогда получим, что на границе

Таким образом, задача определения напряжений в скручиваемом стержне некруглого поперечного сечения сводится к отысканию функции Ф, которая удовлетворяет уравнению Пуассона (8.44) и граничному условию (8.46).

Выразим крутящий момент М к через функцию напряжений Ф. Подставив (8.43) в (8.34), получим

Дважды интегрируя это выражение по частям и используя граничное условие (8.46), можно получить следующее равенство:

ПРИ КРУЧЕНИИ (ЗАДАЧА № 11)

Условие задачи

Стальной вал круглого поперечного сечения состоит из трех участков с различными полярными моментами инерции (рис. 3.6, а ). Концы вала жестко закреплены от поворота относительно продольной оси вала. Заданы нагрузки: пары сил и , действующие в плоскости поперечного сечения вала; отношения полярных моментов инерции участков вала и ; длины участков , , .

Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) подобрать размеры поперечных сечений из условия прочности;

3) построить эпюру углов закручивания.

Решение

Ввиду наличия двух жестких опорных закреплений под действием нагрузки в каждом из них возникают реактивные пары и . Составив условие равновесия вала

убеждаемся в том, что записанное уравнение не может быть решено однозначно, поскольку содержит две неизвестные величины: и . Остальные уравнения равновесия при данной нагрузке выполняются тождественно. Следовательно, задача является один раз статически неопределимой.

Для раскрытия статической неопределимости составим условие совместности деформаций. Вследствие жесткости опорных закреплений концевые сечения вала не поворачиваются. Это равносильно тому, что полный угол закручивания вала на участке А–В равен нулю: , или .

Последнее уравнение и есть условие совместности деформаций. Для его связи с уравнением равновесия запишем физические уравнения, связывающие крутящие моменты и углы закручивания (3.3) (закон Гука при кручении), для каждого участка стержня:

, , .

Подставив физические соотношения в условие совместности деформаций, находим реактивный момент , а затем из уравнения равновесия определяем . Эпюра крутящих моментов показана на рис. 3.6, б .

Для решения задачи о подборе сечения запишем формулы для определения максимальных касательных напряжений (3.5) на каждом участке вала:

; ; .

Коэффициенты и , представляющие собой отношения полярных моментов сопротивления сечений второго и третьего участков вала к полярному моменту сопротивления сечения первого участка , определим через известные параметры и .

Полярный момент инерции может быть записан двояким образом:

; ,

где , - радиусы первого и второго участков стержня. Отсюда выразим радиус через :

Тогда полярный момент сопротивления второго участка

,

то есть . Аналогично .

Теперь можно сравнить между собой максимальные касательные напряжения на отдельных участках и для наибольшего из них записать условие прочности (3.13). Из этого условия находим требуемый полярный момент сопротивления , и затем, используя формулу (3.8), радиусы вала на каждом участке.

; ; .

Для построения эпюры углов закручивания вычислим углы закручивания на каждом участке стержня по формуле (3.3). Ординаты эпюры получаются последовательным суммированием результатов для отдельных участков, начиная с одного из концов вала. Контролем правильности решения является равенство нулю угла закручивания на другом конце вала Вид эпюры углов закручивания показан на рис. 3.6, в .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995.

2. Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977.

3. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989.

4. Сопротивление материалов: Метод. указания и схемы заданий к расчетно-графическим работам для студентов всех специальностей / СПбГАСУ; Сост: И А. Куприянов, Н. Б. Левченко, Г. С. Шульман. СПб., 2010.

Общие указания по выполнению расчетно-графических работ.............................4

Используемые обозначения........................................................................................5

1. Растяжение -сжатие ................................................................................................7

1.1. Расчет статически определимых стержневых систем.................................8

Примеры решения задач.....................................................................................10

1.1.1. Подбор сечения стержня, подверженного растяжению-сжатию

(задача № 1) ...........................................................................................10

1.1.2. Определение напряжений и перемещений в стержне при

растяжении-сжатии с учетом собственного веса (задача № 2).........13

1.1.3. Определение грузоподъемности статически определимой

конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 3)......15

1.2. Расчет статически неопределимых стержневых систем..........................18

Примеры решения задач.....................................................................................21

1.2.1. Расчет статически неопределимого составного стержня,

работающего на растяжение-сжатие (задача № 4).............................21

1.2.2. Расчет статически неопределимой стержневой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 5)..........................................................25

1.2.3. Определение грузоподъемности статически неопределимой

шарнирно-стержневой конструкции (задача № 6).......................................32

2. Исследование плоского напряженного состояния. Проверка прочности

для сложного напряженного состояния ..........................................................45

Примеры решения задач.....................................................................................54

2.1. Исследование плоского напряженного состояния

по заданным напряжениям на произвольных площадках.

Проверка прочности (задача № 7)..............................................................54

2.2. Исследование плоского напряженного состояния

по заданным напряжениям на главных площадках.

Проверка прочности (задача № 8).............................................................64

2.3. Расчет тонкостенной трубы, подверженной действию внутреннего

давления, продольной силы и крутящего момента (задача № 9)............68

3. Кручение ...............................................................................................................73

Примеры решения задач.....................................................................................77

3.1. Подбор сечения составного стержня (вала),

работающего на кручение (задача № 10)................................................. 77

3.2. Расчет статически неопределимого вала при кручении (задача № 11)...81

Список литературы....................................................................................................84

Нина Борисовна Левченко

Лев Марленович Каган-Розенцвейг

Игорь Александрович Куприянов

Ольга Борисовна Халецкая